CADENAS DE MARKOV
Se conoce como cadena de Márkov a un tipo especial de proceso estocástico en el que la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediatamente anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros y rrepresenta un sistema que varía su estado a lo largo del tiempo, siendo cada cambio una transición del sistema.
Las cadena de markov consta de estados (e1, e2, e3,..), que en un tiempo inicial 0, estado inicial, pasan a un estado estable x, a partir de una matriz de transición, en la que se encuentran las probabilidades de que un estado pase a otro estado o permanezca en el mismo, lo que quiere decir que la matriz de transición es una matriz cuadrada de n filas por n columnas (nxn).
PROPIEDADES:
1- la suma de las probabilidades de los estados debe ser igual a 1.
2- la matriz de transición debe ser cuadrada.
3- las probabilidades de transición deben estar entre 0 y 1
Desarrollemos un ejemplo para que esto quede bastante claro.
Tengamos presente tres empresas (A, B, C) que brinde un servicio x, las cuales presentan la siguiente matriz de transición:
matriz de transicion | ||||
A | B | C | suma de probabilidades | |
A | 0,6 | 0,3 | 0,1 | 1 |
B | 0,3 | 0,4 | 0,3 | 1 |
C | 0,7 | 0,2 | 0,1 | 1 |
En este momento tienen la siguiente distribución de las personas que reciben el servicio x A 6000; B 3000; C 2000.
Para saber cuál es el porcentaje o proporción de personas que posee cada empresa se realiza lo siguiente.
Y asi mismo para las siguientes empresas
Esto nos da unos estados iniciales.
A | B | C | suma probabilidad | |
P0 | 0,5454 | 0,2727 | 0,1819 | 1 |
Se puede encontrar cual es su estado estable de muchas maneras aquí vamos a abordar 2 de estas, pero para hacerlo deben repasar multiplicación de matriz.
Lo primero que deben saber es que para pasar de un estado inicial al siguiente estado debemos multiplicar la matriz de transición por el estado inicial
Entonces PRIMERA forma de resolución.
A |
0,6*0,5454 |
0,3*0,2727 |
0,7*0,1819 |
0.6*0.5454+0.3*0.2727+0.7*0.1819= |
0,53638 |
B |
0,3*0,5454 |
0,4*0,2727 |
0,2*0,1819 |
0.3*0.5454+0.4*0.2727+0.2*0.1819= |
0,30908 |
C |
0,1*0,5454 |
0,3*0,2727 |
0,1*0,1819 |
0.1*0.5454+0.3*0.2727+0.1*0.1819= |
0,15454 |
Entonces este proceso se repetiría hasta hallar el estado estable (cuando las probabilidades permanezcan constantes) que en este caso podemos considerar que es P9.
A | B | C | suma probabilidad | |
P0 | 0,5454 | 0,2727 | 0,1819 | 1 |
p1 | 0,53638 | 0,30908 | 0,15454 | 1 |
p2 | 0,52273 | 0,315454 | 0,161816 | 1 |
p3 | 0,5215454 | 0,3153638 | 0,1630908 | 1 |
p4 | 0,52169994 | 0,3152273 | 0,16307276 | 1 |
p5 | 0,52173909 | 0,31521545 | 0,16304546 | 1 |
p6 | 0,52173991 | 0,315217 | 0,16304309 | 1 |
p7 | 0,52173921 | 0,31521739 | 0,1630434 | 1 |
p8 | 0,52173912 | 0,3152174 | 0,16304348 | 1 |
p9 | 0,52173913 | 0,31521739 | 0,16304348 | 1 |
Segunda forma (es importante que sepan utilizar los sistemas de ecuaciones lineales y/o de gauss Jordán).
Supongamos que no conocemos el estado inicial de las empresas entonces:
A | B | C | suma probabilidad | |
P0 | x | y | z | 1 |
Sabemos que los estados estables permanecen constantes cuando estos se multiplican con la matriz de transición. Entonces podemos considerar que el estado inicial desconocida podría ser el estado estable:
A | B | C | suma probabilidad | |
Pestado estable | x | y | z | 1 |
A | B | C |
0,6*x | 0,3*x | 0,1*x |
0,3*y | 0,4*y | 0,3*y |
0,7*z | 0,2*z | 0,1*z |
0.6*x+0.3*y+0.7*z= | 0.3*x+0.4*y+0.2*z= | 0.1*x+0.3*y+0.1*z= |
X | Y | Z |
Entonces realizando un sistema de ecuaciones tenemos:
0.6x+0.3y+0.7z=x entonces 0.4x=0.3y+0.7z
03x+0.4y+0.2z=y entonces 0.6y=0.3x+0.2z
0.1x+0.3y+0.1z=z entonces 0.9z-0.1x=0.3y
Reemplazando
0.4x=0.9z-0.1x+0.7z entonces 0.4x+0.1x=0.9z+0.7x eso da x=(1.6/0.5) z =3.2z entonces x=3.2z
0.9z-0.1(3.2z)=0.3y entonces 0.58z=0.3y eso da que (0.58/0.3)z=y entonces y=1.933z
Sabemos que x+y+z=1
Entonces reemplazamos y
3.2z+1.93333z+z=1
6.1333z=1 entonces z=1/6.1333=0.1630
X=3.2(0.1630)=0.5217 y por ultimo y=1.9333(0.1630)=0.31521
Estados absorbentes
Los estados absorbentes son aquellos que tienen una probabilidad de 1 de permanecer en ese estado, implicando que la matriz de transición de una u otra forma siempre llegara a este por tanto al momento de llegar aquí jamás se saldrá de él.
Aquí no es pertinente hallar un estado estable ya que en conclusión siempre se llegara al estado absorbente
Para dejar claro que se busca en este tipo de problemas de CADENAS de MARKOV realizaremos otro ejemplo.
Un hospital ha basado un estudio en las personas que ingresan con cáncer y reciben cierto tratamiento, en el cual ha determinado la siguiente matriz de transición en cuanto al tiempo que descubrieron esta enfermedad en los pacientes si pueden lograr recuperarse.
1 mes | 6 meses | 1 año | se recuperan | mueren | |
1 mes | 0 | 0,5 | 0 | 0,3 | 0,2 |
6 meses | 0 | 0 | 0,2 | 0,2 | 0,6 |
1 año | 0 | 0 | 0 | 0,1 | 0,9 |
se recupera | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
muere | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Hallar ¿cuál es la probabilidad de que una persona que descubra esta enfermedad a los 6 meses pueda recuperarse?
Podemos notar que esta matriz es absorbente debido a que en ellas hay unos (1).
Para resolver esto debemos establecer cuáles son los estados absorbentes y cuáles son los estados no absorbentes.
Entonces los estados no absorbentes los vamos a transformar a la siguiente manera (I-NA)-1:
Donde I es la matriz identidad.
PRIMERO SEGUNDO
(I-NA) (I-NA)-1 es la inversa
1-0 | 0-0,5 | 0-0 | 1 | 0,5 | 0,1 | |
0-0 | 1-0 | 0-0,2 | 0 | 1 | 0,2 | |
0-0 | 0-0 | 1-0 | 0 | 0 | 1 |
Luego multiplicaremos la matriz inversa por la matriz absorbente como hacíamos en el primer tema de CADENAS de MARKOV.
P(X)=A*(I-NA)-1
Donde A es la matriz absorbente
Aquí no voy a demostrar el resto de la resolución del problema, sin embargo dejare las probabilidades y cuál es su respuesta, ya que el lector puede intentar hallarla con los recursos que se le dio anterior mente.
se recuperan | Mueren | |
1 mes | 0,41 | 0,59 |
6 meses | 0,22 | 0,78 |
El 22% de las personas que descubren que tienen cáncer a los 6 meses de avanzada la enfermedad pueden llegar a recuperarse recibiendo el tratamiento. Lo que quiere decir que tiene una probabilidad de 0.22 de recuperarse.
Tomado de la clase de investigacion de operaciones II periodo 1 año 2011 del profesor Medardo Gonzales
y de la pagina http://es.wikipedia.org/wiki/Cadena_de_Markov .
Tomado de la clase de investigacion de operaciones II periodo 1 año 2011 del profesor Medardo Gonzales
y de la pagina http://es.wikipedia.org/wiki/Cadena_de_Markov .
